1. (2023八上·长春汽车经济技术开发期中) 教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容．

2．线段垂直平分线 我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴，如图，直线MN是线段AB的垂直平分线，P是MN上任一点，连接PA、PB ， 将线段AB沿直线MN对折，我们发现PA与PB完全重合，由此即有：线段垂直平分线的性质定理线段垂直平分线上的点到线段两端钓距离相等。 已知：如图， ， 垂足点为C ， ， 点P是直线MN的任意一点。 求证：。 分析：图中有两个直角三角形APC和BPC ， 只要证明这两个三角形全等，便可证明。 请写出完整的证明过程

1. （1） 定理证明：请根据教材中的分析，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程．
3. （2） 定理应用：

   如图②，在中，直线m、n分别是边BC、AC的垂直平分线，直线m、n交于点O ， 过点O作于点H ． 求证： ．

5. （3） 如图③，在中， ， 边AB的垂直平分线交AC于点D ， 边BC的垂直平分线交AC于点E ． 若 ， ， 则DE的长为．