如图，在正方形中，，将正方形绕点按顺时针方向旋转得到正方形．动点从点出发，沿方向运动，运动速度为．过点作的垂线，交于点，连接，交于点．设动点的运动时间为（）．解答下列问题：

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1. (2023·黄岛模拟) 如图，在正方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，将正方形 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 按顺时针方向旋转 $\text{[math]}$ 得到正方形 $\text{[math]}$ ．动点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发，沿 $\text{[math]}$ 方向运动，运动速度为 $\text{[math]}$ ．过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 的垂线，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．设动点 $\text{[math]}$ 的运动时间为 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）．解答下列问题：
1. （1）当 $\text{[math]}$ 为何值时， $\text{[math]}$ ？
3. （2）设 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的关系式；
5. （3）当运动时间为 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的长；
7. （4）若 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，在运动的过程中，点 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 两边距离的和是否为定值？请说明理由．

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山东省青岛市黄岛区2023年中考一模数学试题