如图1，直线y＝ x和直线y＝﹣ x+5相交于点A，直线y＝﹣ x+5与x轴交于点C，点P在线段AC上，PD⊥x轴于点D，交直线y＝ x于点Q．

1. (2020八上·沈河期末) 如图1，直线y＝ $\text{[math]}$ x和直线y＝﹣ $\text{[math]}$ x+5相交于点A，直线y＝﹣ $\text{[math]}$ x+5与x轴交于点C，点P在线段AC上，PD⊥x轴于点D，交直线y＝ $\text{[math]}$ x于点Q．
1. （1）点A的坐标为；
3. （2）当QP＝OA时，求Q点的坐标及△APQ的面积；
5. （3）如图2，在（2）的条件下，∠OQP平分线交x轴于点M．
  ①直接写出点M的坐标；
  
  ②点N在直线y＝ $\text{[math]}$ x的上方，当 $\text{[math]}$ OQN和 $\text{[math]}$ OQM全等时直接写出N点坐标．

能力提升真题演练换一批

1. (2022八上·余姚期中) 定义：在△ABC中，若BC=a，AC=b，AB=c，a，b，c满足ac+a²=b²^，则称这个三角形为“类勾股三角形”。请根据以上定义，解决下列问题：
1. （1）命题：“直角三角形都是类勾股三角形”是（填“真”或“假”）命题。
2. （2）如图1，若等腰三角形ABC是“类勾股三角形”，其中AB=BC，AC>AB，请求∠A的度数。
3. （3）如图2，在三角形ABC中，∠B=2∠A，且∠C>∠A .
  ①当∠A=32°时，你能把这个三角形分成两个等腰三角形吗？若能请在图2中画出分割线，并标被分割后的两个等腰三角形的顶角度数；若不能，请说明理由。
  
  ②请证明△ABC为“类勾股三角形” 。
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2. (2022八上·右玉期末) 如图1，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上，以AB为边作等腰直角三角形ABC，使 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点C在第二象限．
1. （1）若点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且a、b满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点C的坐标为；
2. （2）如图2，过点C作 $\text{[math]}$ 轴于点M，AD平分∠BAC，交x轴于点D，交CM于点N，交BC于点P，求证：CP垂直平分DN；
3. （3）试探究（2）中OM，OD与MN之间的关系，并说明理由．
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3. (2020八上·滨江期中) 如图1，D是边长为4㎝的等边△ABC的边AB上的一点，DQ⊥AB交边BC于点Q，RQ⊥BC交边AC于点R，RP⊥AC交边AB于点E，交QD的延长线于点P.
1. （1）请说明△PQR是等边三角形的理由；
2. （2）若BD=1.3cm，则AE=cm（填空）
3. （3）如图2，当点E恰好与点D重合时，求出BD的长度.
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1. (2022·湖州) 某校组织学生从学校出发，乘坐大巴前往基地进行研学活动．大巴出发1小时后，学校因事派人乘坐轿车沿相同路线追赶．已知大巴行驶的速度是40千米/小时，轿车行驶的速度是60千米/小时．
1. （1）求轿车出发后多少小时追上大巴？此时，两车与学校相距多少千米？
2. （2）如图，图中OB，AB分别表示大巴、轿车离开学校的路程s（千米）与大巴行驶的时间t（小时）的函数关系的图象．试求点B的坐标和AB所在直线的解析式；
3. （3）假设大巴出发a小时后轿车出发追赶，轿车行驶了1.5小时追上大巴，求a的值．
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2. (2022·鄂尔多斯) 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax²+bx+2经过A（ $\text{[math]}$ ， 0），B（3， $\text{[math]}$ ）两点，与y轴交于点C．
1. （1）求抛物线的解析式；
2. （2）点P在抛物线上，过P作PD⊥x轴，交直线BC于点D，若以P、D、O、C为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；
3. （3）抛物线上是否存在点Q，使∠QCB＝45°？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
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3. (2021·南京) 在几何体表面上，蚂蚁怎样爬行路径最短？
1. （1）如图①，圆锥的母线长为 $\text{[math]}$ ，B为母线 $\text{[math]}$ 的中点，点A在底面圆周上， $\text{[math]}$ 的长为 $\text{[math]}$ .在图②所示的圆锥的侧面展开图中画出蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径，并标出它的长（结果保留根号）.
2. （2）图③中的几何体由底面半径相同的圆锥和圆柱组成.O是圆锥的顶点，点A在圆柱的底面圆周上.设圆锥的母线长为l，圆柱的高为h.
  ①蚂蚁从点A爬行到点O的最短路径的长为 ▲ （用含l，h的代数式表示）.
  
  ②设 $\text{[math]}$ 的长为a，点B在母线 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ .圆柱的侧面展开图如图④所示，在图中画出蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径的示意图，并写出求最短路径的长的思路.
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