如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝15，BC＝25，AD是BC边上的高，点E在边AC上，EF⊥BC于点F ．

1. (2021·下城模拟) 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝15，BC＝25，AD是BC边上的高，点E在边AC上，EF⊥BC于点F ．
1. （1）求证：sinB＝sin∠CEF ．
3. （2）若AE＝5，求证：△ABD≌△CEF ．

能力提升真题演练换一批

1. (2022·朝阳模拟) 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，BC=DC，CE平分∠BCD交边AB于点E，连结DE．
1. （1）求证：四边形BCDE是菱形．
2. （2）连结BD，若BD=AD=4，tan∠A= $\text{[math]}$ ，则CE的长为
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2. (2022·济南模拟) 如图，一次函数y=﹣x+3的图象与反比例函数y= $\text{[math]}$ （k≠0）在第一象限的图象交于A（1，a）和B两点，与x轴交于点C．
1. （1）求反比例函数的解析式；
2. （2）若点P在x轴上，且△APC的面积为5，求点P的坐标；
3. （3）若点P在y轴上，是否存在点P，使△ABP是以AB为一直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．
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3. (2021·丰台模拟) 已知：在 $\text{[math]}$ 中，AB=AC，AD是边BC上的中线．
求作：∠BPC，使∠BPC=∠BAC．

作法：

①作线段 $\text{[math]}$ 的垂直平分线 $\text{[math]}$ ，与直线 $\text{[math]}$ 交于点O；

②以点O为圆心， $\text{[math]}$ 长为半径作 $\text{[math]}$ ；

③在 $\text{[math]}$ 上取一点P（不与点A重合），连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ． $\text{[math]}$ 就是所求作的角．
1. （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
2. （2）完成下面的证明．
  证明：连接 $\text{[math]}$ ．
  
  ∵ $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 的垂直平分线，
  
  ∴ $\text{[math]}$ ▲ ．
  
  ∵ $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ 上的中线，
  
  ∴ $\text{[math]}$ ．
  
  ∴ $\text{[math]}$ ．
  
  ∴ $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的外接圆．
  
  ∵点P在 $\text{[math]}$ 上，
  
  ∴ $\text{[math]}$ （ ▲ ）（填推理的依据）．
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1. (2021·宜宾) 如图，一次函数y＝ax＋b的图象与反比例函数 $\text{[math]}$ 的图象交于点A、B，与x轴交于点 $\text{[math]}$ ，若OC＝AC，且 $\text{[math]}$ ＝10
1. （1）求反比例函数与一次函数的表达式；
2. （2）请直接写出不等式ax＋b＞ $\text{[math]}$ 的解集.
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2. (2022·通辽) 已知点 $\text{[math]}$ 在正方形 $\text{[math]}$ 的对角线 $\text{[math]}$ 上，正方形 $\text{[math]}$ 与正方形 $\text{[math]}$ 有公共点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）如图1，当点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，求 $\text{[math]}$ 的值为多少；
2. （2）将正方形 $\text{[math]}$ 绕 $\text{[math]}$ 点逆时针方向旋转 $\text{[math]}$ ，如图2，求： $\text{[math]}$ 的值为多少；
3. （3） $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，将正方形 $\text{[math]}$ 绕 $\text{[math]}$ 逆时针方向旋转 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 三点共线时，请直接写出 $\text{[math]}$ 的长度．
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3. (2022·株洲) 如图所示， $\text{[math]}$ 的顶点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 在⊙ $\text{[math]}$ 上，顶点 $\text{[math]}$ 在⊙ $\text{[math]}$ 外，边 $\text{[math]}$ 与⊙ $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ .
1. （1）求证：直线 $\text{[math]}$ 是⊙ $\text{[math]}$ 的切线；
2. （2）若线段 $\text{[math]}$ 与线段 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ .
  ①求证： $\text{[math]}$ ；
  ②若 $\text{[math]}$ ，求⊙ $\text{[math]}$ 的半径的长度.
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