如图，在矩形中，，，点O为对角线的中点，点P从点A出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，当点P与点A不重合时，过点P作于点Q，以为边向右作正方形，设正方形与重叠部分图形的面积为S（平方单

1. (2021·路北模拟) 如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点O为对角线 $\text{[math]}$ 的中点，点P从点A出发，沿折线 $\text{[math]}$ 以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，当点P与点A不重合时，过点P作 $\text{[math]}$ 于点Q，以 $\text{[math]}$ 为边向右作正方形 $\text{[math]}$ ，设正方形 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 重叠部分图形的面积为S（平方单位），点P运动的时间为t（秒）．
1. （1）求点N落在 $\text{[math]}$ 上时t的值．
3. （2）直接写出点O在正方形 $\text{[math]}$ 内部时t的取值范围．
5. （3）当点P在折线 $\text{[math]}$ 上运动时，求S与t之间的函数关系式．
7. （4）直接写出直线 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ 面积时t的值．

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