在等腰直角三角形中，，，点在斜边上（），作，且，连接，如图（1）．

1. (2020九上·来安期末) 在等腰直角三角形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在斜边 $\text{[math]}$ 上（ $\text{[math]}$ ），作 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，如图（1）．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
3. （2）延长 $\text{[math]}$ 至点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ．如图（2）．
  
  ①求证： $\text{[math]}$ ；
  
  ②求证： $\text{[math]}$ ．

能力提升真题演练换一批

1. (2021九上·浈江期末) 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，△OAB的三个顶点O（0，0）、A（4，1）、B（4，4）均在格点上．
1. （1）请画出△OAB绕原点O顺时针旋转90°后的图形△OA₁B₁ ．
2. （2）直接写出：点A₁坐标，点B₁坐标．
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2. (2022九上·西安开学考) 如图，在 $\text{[math]}$ 中，延长 $\text{[math]}$ 到点 $\text{[math]}$ 使 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证：四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形；
2. （2）连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．
  ①当 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 时，四边形 $\text{[math]}$ 是菱形；
  ②若 $\text{[math]}$ ，则当 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 时，四边形 $\text{[math]}$ 是矩形．
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3. 已知在以点 $\text{[math]}$ 为原点、 $\text{[math]}$ 所在直线为 $\text{[math]}$ 轴的平面直角坐标系中，圆内接四边形 $\text{[math]}$ 的对角线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 相交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 经过 $\text{[math]}$ 的内心，且抛物线 $\text{[math]}$ 经过 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 三点．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）求证： $\text{[math]}$ ；
3. （3） $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、四边形 $\text{[math]}$ 的面积分别记为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 、S ，求同时满足以下三个条件的抛物线的解析式；
  ① $\text{[math]}$ ，
  ② $\text{[math]}$ ，
  ③四边形 $\text{[math]}$ 的周长为 $\text{[math]}$ .
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1. (2021·巴中) 如图，四边形ABCD中，AD $\text{[math]}$ BC，AB＝AD＝CD $\text{[math]}$ BC.分别以B、D为圆心，大于 $\text{[math]}$ BD长为半径画弧，两弧交于点M.画射线AM交BC于E，连接DE.
1. （1）求证：四边形ABED为菱形；
2. （2）连接BD，当CE＝5时，求BD的长.
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2. (2021·临沂) 如图，已知在⊙O中， $\text{[math]}$ ，OC与AD相交于点E．求证：
1. （1） AD∥BC
2. （2）四边形BCDE为菱形．
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3. (2020九上·岐山期末)
如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N．
1. （1）求证：△ABM∽△EFA；
2. （2）若AB=12，BM=5，求DE的长．
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使用过本题的试卷

安徽省滁州市全椒县2019-2020学年九年级上学期数学期末试卷

1. (2020九上·来安期末) 在等腰直角三角形 中， ， ，点 在斜边 上（ ），作 ，且 ，连接 ，如图（1）．

使用过本题的试卷

1. (2020九上·来安期末) 在等腰直角三角形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在斜边 $\text{[math]}$ 上（ $\text{[math]}$ ），作 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，如图（1）．