如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长CB至点F，使CF=CA，连接AF，∠ACF的平分线分别交AF，AB，BD于点E，N，M，连接EO．

1. (2017九下·启东开学考) 如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长CB至点F，使CF=CA，连接AF，∠ACF的平分线分别交AF，AB，BD于点E，N，M，连接EO．
1. （1）已知BD= $\text{[math]}$ ，求正方形ABCD的边长；
3. （2）猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明．

能力提升真题演练换一批

1. (2023九下·滨江月考) 如图，正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，连接AE，CE延长AE交CD边于点F.
1. （1）求证：△ABE≌△CBE；
2. （2）设∠AEC=α，∠AFD=β，试求β（β用含α的代数式表示）.
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2. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3，动点P从点B出发，在边BC上以每秒 $\text{[math]}$ 个单位长度的速度运动至点C ，然后又在边CA上以每秒1个单位长度的速度运动至点A停止．当点P不与△ABC的顶点重合时，过点P作其所在直角边的垂线交边AB于点Q ，再以PQ为边作等边△PQM ，且点M与△ABC的另一条直角边始终在PQ同侧．设△PQM与△ABC重叠部分的面积为S平方单位，点P的运动时间为t秒．
1. （1）当点P在边BC上运动时，求PQ的长（用含t的代数式表示）；
2. （2）当点P在边BC上运动时，求S与t的函数关系式；
3. （3）取AB的中点K ，连接CK ．当点M落在线段CK上时，求t的值．
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3. (2022九下·北京市开学考) 对于⊙C和⊙C上的一点A，若平面内的点P满足：射线AP与⊙C交于点Q（点Q可以与点P重合），且1≤ $\text{[math]}$ ≤2，则点P称为点A关于⊙C的“生长点”．已知点O为坐标原点，⊙O的半径为1，点A（﹣1，0）．
1. （1）若点P是点A关于⊙O的“生长点”，且点P在x轴上，请写出一个符合条件的点P的坐标；
2. （2）若点B是点A关于⊙O的“生长点”，且满足∠BAO＝30°，求点B的纵坐标t的取值范围；
3. （3）直线y＝ $\text{[math]}$ x+b与x轴交于点M，且与y轴交于点N，若线段MN上存在点A关于⊙O的“生长点”，直接写出b的取值范围是．
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1. (2022·眉山) 已知直线 $\text{[math]}$ 与反比例函数 $\text{[math]}$ 的图象在第一象限交于点 $\text{[math]}$ .
1. （1）求反比例函数的解析式；
2. （2）如图，将直线 $\text{[math]}$ 向上平移 $\text{[math]}$ 个单位后与 $\text{[math]}$ 的图象交于点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；
3. （3）在（2）的条件下，设直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴、 $\text{[math]}$ 轴分别交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ .
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2. (2021·日照) 如图， $\text{[math]}$ 的对角线相交于点D， $\text{[math]}$ 经过A、D两点，与 $\text{[math]}$ 的延长线相交于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上一点，且 $\text{[math]}$ ．连接AE、DF相交于点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 对角线 $\text{[math]}$ 的长；
2. （2）求证： $\text{[math]}$ 为矩形．
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3. (2021·贵港) 如图，⊙O是 $\text{[math]}$ ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，F是AD延长线上一点，连接CD，CF，且∠DCF＝∠CAD.
1. （1）求证：CF是⊙O的切线；
2. （2）若cosB＝ $\text{[math]}$ ，AD＝2，求FD的长.
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