已知函数，函数．（Ⅰ）求函数的极值；（Ⅱ）当时，证明：对一切的，都有恒成立；（Ⅲ）当时，函数，有最小值，记的最小值为，证明：．

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1. (2018·天津模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ ，函数 $\text{[math]}$ ．
（Ⅰ）求函数 $\text{[math]}$ 的极值；

（Ⅱ）当 $\text{[math]}$ 时，证明：对一切的 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ 恒成立；

（Ⅲ）当 $\text{[math]}$ 时，函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 有最小值，记 $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ ．

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