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2013年高考理数真题试卷(湖南卷)

更新时间:2016-10-19 浏览次数:962 类型:高考真卷
一、<b >选择题.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.</b>
二、<b >填空题</b>
三、<b >解答题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.</b>
  • 17. 已知函数f(x)=sin(x﹣ )+cos(x﹣ ),g(x)=2sin2
    1. (1) 若α是第一象限角,且f(α)= ,求g(α)的值;
    2. (2) 求使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合.
  • 18. 某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形顶点)处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验,一株该种作物的年收获Y(单位:kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示:

    X

    1

    2

    3

    4

    Y

    51

    48

    45

    42

    这里,两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米.

    1. (1) 从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物,求它们恰 好“相近”的概率;
    2. (2) 在所种作物中随机选取一株,求它的年收获量的分布列与数学期望.
  • 19. 如图,在直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,AD∥BC,∠BAD=90°,AC⊥BD,BC=1,AD=AA1=3.

    1. (1) 证明:AC⊥B1D;
    2. (2) 求直线B1C1与平面ACD1所成的角的正弦值.
  • 20.

    在平面直角坐标系xOy中,将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径称为M到N的一条“L路径”.如图所示的路径MM1M2M3N与路径MN1N都是M到N的“L路径”.某地有三个新建居民区,分别位于平面xOy内三点A(3,20),B(﹣10,0),C(14,0)处.现计划在x轴上方区域(包含x轴)内的某一点P处修建一个文化中心.

    1. (1) 写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式(不要求证明);

    2. (2) 若以原点O为圆心,半径为1的圆的内部是保护区,“L路径”不能进入保护区,请确定点P的位置,使其到三个居民区的“L路径”长度之和最小.

  • 21. 过抛物线E:x2=2py(p>0)的焦点F作斜率率分别为k1 , k2的两条不同直线l1 , l2 , 且k1+k2=2.l1与E交于点A,B,l2与E交于C,D,以AB,CD为直径的圆M,圆N(M,N为圆心)的公共弦所在直线记为l.
    1. (1) 若k1>0,k2>0,证明:
    2. (2) 若点M到直线l的距离的最小值为 ,求抛物线E的方程.
  • 22. 已知a>0,函数
    1. (1) 记f(x)在区间[0,4]上的最大值为g(a),求g(a)的表达式;
    2. (2) 是否存在a使函数y=f(x)在区间(0,4)内的图象上存在两点,在该两点处的切线互相垂直?若存在,求出a的取值范围;若不存在,请说明理由.

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