2012年高考理数真题试卷（广东卷）

更新时间：2016-10-21 浏览次数：1142 类型：高考真卷

一、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 设i是虚数单位，则复数 $\text{[math]}$ =（）

A . 6+5i B . 6﹣5i C . ﹣6+5i D . ﹣6﹣5i

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2. 设集合U={1，2，3，4，5，6}，M={1，2，4}，则∁_UM=（）

A . U B . {1，3，5} C . {3，5，6} D . {2，4，6}

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3. 若向量 $\text{[math]}$ ，向量 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ =（）

A . （﹣2，﹣4） B . （3，4） C . （6，10） D . （﹣6，﹣10）

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4. 下列函数，在区间（0，+∞）上为增函数的是（）

A . y=ln（x+2） B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 已知变量x，y满足约束条件 $\text{[math]}$ ，则z=3x+y的最大值为（）

A . 12 B . 11 C . 3 D . ﹣1

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6. 某几何体的三视图如图所示，它的体积为（）

A . 12π B . 45π C . 57π D . 81π

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7. 从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 对任意两个非零的平面向量 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，定义 $\text{[math]}$ ○ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，若平面向量 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 满足| $\text{[math]}$ |≥| $\text{[math]}$ |＞0， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ○ $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ○ $\text{[math]}$ 都在集合 $\text{[math]}$ 中，则 $\text{[math]}$ ○ $\text{[math]}$ =（）

A . $\text{[math]}$ B . 1 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、填空题：（一）必做题（9～13题）（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）

9. 不等式|x+2|﹣|x|≤1的解集为

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10. $\text{[math]}$ 中x³的系数为．（用数字作答）

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11. 已知递增的等差数列{a_n}满足a₁=1，a₃=a₂²﹣4，则a_n=．

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12. 曲线y=x³﹣x+3在点（1，3）处的切线方程为．

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13. 执行如图所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出的s的值为

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14. （坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy中，曲线C₁与C₂的参数方程分别为 $\text{[math]}$ （t为参数）和 $\text{[math]}$ （θ为参数），则曲线C₁与C₂的交点坐标为．

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15. （几何证明选讲选做题）如图，圆O中的半径为1，A、B、C是圆周上的三点，满足∠ABC=30°，过点A作圆O的切线与OC的延长线交于点P，则图PA=

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三、解答题：解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16. 已知函数 $\text{[math]}$ （其中ω＞0，x∈R）的最小正周期为10π．
1. （1）求ω的值；
2. （2）设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求cos（α+β）的值．
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17. 某班50位学生期中考试数学成绩的频率直方分布图如图所示，其中成绩分组区间是：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．
1. （1）求图中x的值；
2. （2）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为ξ，求ξ的数学期望．
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18. 如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE．
1. （1）证明：BD⊥平面PAC；
2. （2）若PA=1，AD=2，求二面角B﹣PC﹣A的正切值．
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19. 设数列{a_n}的前n项和为S_n ，满足2S_n=a_n+1﹣2ⁿ⁺¹+1，n∈N^* ，且a₁ ， a₂+5，a₃成等差数列．
1. （1）求a₁的值；
2. （2）求数列{a_n}的通项公式；
3. （3）证明：对一切正整数n，有 $\text{[math]}$ ．
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20. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： $\text{[math]}$ 的离心率 $\text{[math]}$ ，且椭圆C上的点到点Q（0，2）的距离的最大值为3．
1. （1）求椭圆C的方程；
2. （2）在椭圆C上，是否存在点M（m，n），使得直线l：mx+ny=1与圆O：x²+y²=1相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．
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21. 设a＜1，集合A={x∈R|x＞0}，B={x∈R|2x²﹣3（1+a）x+6a＞0}，D=A∩B．
1. （1）求集合D（用区间表示）；
2. （2）求函数f（x）=2x³﹣3（1+a）x²+6ax在D内的极值点．
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