北京市东城区2019年中考数学一模考试试卷

更新时间：2020-05-13 浏览次数：400 类型：中考模拟

一、选择题（每小题2分，共16分）

1. 下列立体图形中，主视图是圆的是（　　）

A . B . C . D .

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2. 2019年中国北京世界园艺博览会于4月29日在北京延庆举行，会期共162天，预计参观人数不少于16 000 000人次，将16 000 000用科学记数法表示应为（　　）

A . 16×10⁴ B . 1.6×10⁷ C . 16×10⁸ D . 1.6×10⁸

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3. 已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列结论中正确是（　　）

A . a＞b B . |a|＜|b| C . ab＞0 D . ﹣a＞b

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4. 如图，将一张矩形纸片折叠，若∠1＝80°，则∠2的度数是（　　）

A . 50° B . 60° C . 70° D . 80°

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5. 若一个多边形的每个内角均为120°，则该多边形是（　　）

A . 四边形 B . 五边形 C . 六边形 D . 七边形

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6. 如果a²+3a﹣2＝0，那么代数式（ $\text{[math]}$ ） $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 的值为（　　）

A . 1 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 弹簧原长（不挂重物）15cm，弹簧总长L（cm）与重物质量x（kg）的关系如下表所示：

弹簧总长L（cm）

16

17

18

19

20

重物重量x（kg）

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

当重物质量为5kg（在弹性限度内）时，弹簧总长L（cm）是（　　）

A . 22.5 B . 25 C . 27.5 D . 30

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8. 改革开放40年以来，城乡居民生活水平持续快速提升，居民教育、文化和娱乐消费支出持续增长，已经成为居民各项消费支出中仅次于居住、食品烟酒、交通通信后的第四大消费支出，如图为北京市统计局发布的2017年和2018年我市居民人均教育、文化和娱乐消费支出的折线图．

说明：在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较，例如2018年第二季度与2017年第二季度相比较；环比是指本期统计数据与上期统计数据相比较，例如2018年第二季度与2018年第一季度相比较．

根据上述信息，下列结论中不正确是（　　）

A . 2017年第二季度环比有所提高 B . 2017年第三季度环比有所提高 C . 2018年第一季度同比有所提高 D . 2018年第四季度同比有所提高

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二、填空题（每小题2分，共16分）

9. (2018·大庆模拟) 若 $\text{[math]}$ 在实数范围内有意义，则x的取值范围为．

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10. 有一个质地均匀的正方体，六个面上分别标有1～6这六个整数，投掷这个正方体一次，则向上一面的数字是偶数的概率为．

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11. 能说明命题“若a＞b，则ac＞bc”是假命题的一个c值是．

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12. 如图，AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，若∠BAD＝50°，则∠ACB＝°．

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13. 《九章算术》中记载：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛．问大、小器各容几何？”其大意是：今有大容器5个，小容器1个，总容量为3斛；大容器1个，小容器5个，总容量为2斛．问大容器、小容器的容积各是多少斛？设大容器的容积为x斛，小容器的容积为y斛，根据题意，可列方程组为（斛：古量器名，容量单位）．

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14. 如图，在▱ABCD中，点E在DA的延长线上，且AE＝ $\text{[math]}$ AD，连接CE交BD于点F，则的值是．

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15. 为方便市民出行，2019年北京地铁推出了电子定期票，电子定期票在使用有效期限内，支持单人不限次数乘坐北京轨道交通全路网（不含机场线）所有线路，电子定期票包括一日票、二日票、三日票、五日票及七日票共五个种类，价格如下表：

种类

一日票

二日票

三日票

五日票

七日票

单价（元/张）

20

30

40

70

90

某人需要连续6天不限次数乘坐地铁，若决定购买电子定期票，则总费用最低为元．

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16. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1，A、B、C、D均落在格点上．
1. （1） S_△BDC：S_△BAC＝；
2. （2）点P为BD的中点，过点P作直线l∥BC，过点B作BM⊥l于点M，过点C作CN⊥l于点N，则矩形BCNM的面积为．
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三、解答题（共68分）

17. 下面是小明设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：如图1，直线BC及直线BC外一点P．

求作：直线PE，使得PE∥BC．

作法：如图2．

①在直线BC上取一点A，连接PA；

②作∠PAC的平分线AD；

③以点P为圆心，PA长为半径画弧，交射线AD于点E；

④作直线PE．

所以直线PE就是所求作的直线．根据小明设计的尺规作图过程．
1. （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
2. （2）完成下面的证明．
  证明：∵AD平分∠PAC，
  
  ∴∠PAD＝∠CAD．
  
  ∵PA＝PE，
  
  ∴∠PAD＝，
  
  ∴∠PEA＝，
  
  ∴PE∥BC．（）（填推理依据）．
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18. 计算： $\text{[math]}$ ﹣2sin60°+|﹣2|﹣2019⁰ ．

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19. 解不等式组： $\text{[math]}$ ．

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20. (2018·泸县模拟) 若关于x的一元二次方程x²﹣3x+a﹣2=0有实数根．
1. （1）求a的取值范围；
2. （2）当a为符合条件的最大整数，求此时方程的解．
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21. 如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，CD的垂直平分线分别交AC、DC、BC于点E、F、G，连接DE、DG．
1. （1）求证：四边形DGCE是菱形；
2. （2）若∠ACB＝30°，∠B＝45°，ED＝6，求BG的长．
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22. 在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx（k≠0）与双曲线y＝ $\text{[math]}$ （x＞0）交于点A（2，n）．
1. （1）求n及k的值；
2. （2）点B是y轴正半轴上的一点，且△OAB是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点B的坐标．
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23. 如图，AB与⊙O相切于点A，P为OB上一点，且BP＝BA，连接AP并延长交⊙O于点C，连接OC．
1. （1）求证：OC⊥OB；
2. （2）若⊙O的半径为4，AB＝3，求AP的长．
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24. 某年级共有400学生，为了解该年级学生上学的交通方式，从中随机抽取100名学生进行问卷调查，并对调查数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
a．不同交通方式学生人数分布统计图如图1所示：

b．采用公共交通方式单程所花费时间（分）的频数分布直方图如图2所示（数据分成6组：10≤x＜20，20≤x＜30，30≤x＜40，40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x≤70）：

c．采用公共交通方式单程所花费时间在30≤x＜40这一组的是：

30 30 31 31 32 33 33 34 35 35 36 37 38 39

根据以上信息，回答下列问题：
1. （1）补全频数分布直方图；
2. （2）采用公共交通方式单程所花费时间的中位数为分；
3. （3）请你估计该年级采用公共交通方式上学共有人，其中单程不少于60分钟的有人．
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25. 如图1所示，点E在弦AB所对的优弧上，且 $\text{[math]}$ 为半圆，C是 $\text{[math]}$ 上的动点，连接CA、CB，已知AB＝4cm，设B、C间的距离为xcm，点C到弦AB所在直线的距离为y₁cm，A、C两点间的距离为y₂cm．

小明根据学习函数的经验，分别对函数y₁、y₂岁自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整．

（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y₁、y₂与x的几组对应值：

x/cm	0	1	2	3	4	5	6
y₁/cm	0	0.78	1.76	2.85	3.98	4.95	4.47
y₂/cm	4	4.69	5.26		5.96	5.94	4.47

（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y₁），（x，y₂），并画出函数y₁、y₂的图象；
（3）结合函数图象，解决问题：
①连接BE，则BE的长约为cm．

②当以A、B、C为顶点组成的三角形是直角三角形时，BC的长度约为cm．

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26. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx²﹣6mx+9m+1（m≠0）．
1. （1）求抛物线的顶点坐标；
2. （2）若抛物线与x轴的两个交点分别为A和B点（点A在点B的左侧），且AB＝4，求m的值．
3. （3）已知四个点C（2，2）、D（2，0）、E（5，﹣2）、F（5，6），若抛物线与线段CD和线段EF都没有公共点，请直接写出m的取值范围．
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27. 如图，在正方形ABCD中，E是边BC上的一动点（不与点B、C重合），连接DE、点C关于直线DE的对称点为C′，连接AC′并延长交直线DE于点P，F是AC′的中点，连接DF．
1. （1）求∠FDP的度数；
2. （2）连接BP，请用等式表示AP、BP、DP三条线段之间的数量关系，并证明；
3. （3）连接AC，若正方形的边长为 $\text{[math]}$ ，请直接写出△ACC′的面积最大值．
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28. 在平面直角坐标系xOy中，对于P、Q两点给出如下定义：若点P到x、y轴的距离中的最大值等于点Q到x、y轴的距离中的最大值，则称P、Q两点为“等距点”，如图中的P、Q两点即为“等距点”．
1. （1）已知点A的坐标为（﹣3，1）
  ①在点E（0，3）、F（3，﹣3）、G（2，﹣5）中，点A的“等距点”是；
  
  ②若点B在直线y＝x+6上，且A、B两点为“等距点”，则点B的坐标为；
2. （2）直线l：y＝kx﹣3（k＞0）与x轴交于点C，与y轴交于点D．
  ①若T₁（﹣1，t₁）、T₂（4，t₂）是直线l上的两点，且T₁、T₂为“等距点”，求k的值；
  
  ②当k＝1时，半径为r的⊙O上存在一点M，线段CD上存在一点N，使得M、N两点为“等距点”，直接写出r的取值范围．
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