2015年高考理数真题试卷（天津卷）

更新时间：2016-08-16 浏览次数：1029 类型：高考真卷

一、选择题：在每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的

1. 已知全集 $\text{[math]}$ ，集合 $\text{[math]}$ ，集合 $\text{[math]}$ ，则集合 $\text{[math]}$ ( )

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 设变量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足约束条件 $\text{[math]}$ ，则目标函数 $\text{[math]}$ 的最大值为( )

A . 3 B . 4 C . 18 D . 40

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3.
阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为( )

A . -10 B . 6 C . 14 D . 18

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4. 设 $\text{[math]}$ ，则“ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ ”的( )

A . 充分而不必要条件 B . 必要而不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件

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5.
如图，在圆 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是弦 $\text{[math]}$ 的三等分点，弦 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别经过点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .若 $\text{[math]}$ ，则线段 $\text{[math]}$ 的长为( )

A . $\text{[math]}$ B . 3 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的一条渐近线过点 $\text{[math]}$ ，且双曲线的一个焦点在抛物线 $\text{[math]}$ 的准线上，则双曲线的方程为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 已知定义在 $\text{[math]}$ 上的函数 $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ 为实数）为偶函数，记 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的大小关系为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 已知函数 $\text{[math]}$ 函数 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ，若函数 $\text{[math]}$ 恰有4个零点，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分

9. $\text{[math]}$ 是虚数单位，若复数 $\text{[math]}$ 是纯虚数，则实数 $\text{[math]}$ 的值为。

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10.
一个几何体的三视图如图所示（单位： $\text{[math]}$ ），则该几何体的体积为 $\text{[math]}$

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11. 曲线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 所围成的封闭图形的面积为。

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12. 在 $\text{[math]}$ 的展开式中， $\text{[math]}$ 的系数为。

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13. 在 $\text{[math]}$ 中，内角 $\text{[math]}$ 所对的边分别为 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为。

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14. 在等腰梯形 $\text{[math]}$ 中，已知 $\text{[math]}$ ，动点 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 分别在线段 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ 则 $\text{[math]}$ 的最小值为。

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三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

15. 已知函数 $\text{[math]}$
1. （1）求 $\text{[math]}$ 最小正周期
2. （2）求 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上的最大值和最小值
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16. 为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加. 现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.
1. （1）设 $\text{[math]}$ 为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”求事件 $\text{[math]}$ 发生的概率
2. （2）设 $\text{[math]}$ 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量 $\text{[math]}$ 的分布列和数学期望
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17.
如图，在四棱柱 $\text{[math]}$ 中，侧棱 $\text{[math]}$ 底面 $\text{[math]}$ 且点 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的中点
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$
2. （2）求二面角 $\text{[math]}$ 的正弦值
3. （3）设 $\text{[math]}$ 为棱 $\text{[math]}$ 上的点，若直线 $\text{[math]}$ 和平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值为 $\text{[math]}$ ，求线段 $\text{[math]}$ 的长
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18. 已知数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为实数，且 $\text{[math]}$ ）， $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ 成等差数列
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的值和 $\text{[math]}$ 的通项公式
2. （2）设 $\text{[math]}$ 求数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和
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19. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的左焦点为 $\text{[math]}$ ，离心率为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在椭圆上且位于第一象限，直线 $\text{[math]}$ 被圆 $\text{[math]}$ 截得的线段的长为 $\text{[math]}$ .
1. （1）求直线 $\text{[math]}$ 的斜率
2. （2）求椭圆的方程
3. （3）设动点 $\text{[math]}$ 在椭圆上，若直线 $\text{[math]}$ 的斜率大于 $\text{[math]}$ ，求直线 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为原点）的斜率的取值范围
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20. 一直函数 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$
1. （1）讨论 $\text{[math]}$ 的单调性
2. （2）设曲线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴正半轴的交点为 $\text{[math]}$ ，曲线在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程为 $\text{[math]}$ ，求证：对于任意的正实数 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$
3. （3）若关于 $\text{[math]}$ 的方程 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为实数）有两个正实根 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$
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