2017年河北省“五个一名校联盟”高考数学二模试卷（理科）

更新时间：2017-03-28 浏览次数：1019 类型：高考模拟

一、选择题：

1. 已知i是虚数单位，若z（1+i）=1+3i，则z=（）

A . 2+i B . 2﹣i C . ﹣1+i D . ﹣1﹣i

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2. 已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，集合A={1，3，7}，B={x|x=log₂（a+1），a∈A}，则（∁_UA）∩（
（∁_UB）=（）

A . {1，3} B . {5，6} C . {4，5，6} D . {4，5，6，7}

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3. 已知命题p，q是简单命题，则“￢p是假命题”是“p∨q是真命题”的（）

A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分又不必要条件

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4. 某种电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为 $\text{[math]}$ ，两次闭合后都出现红灯的概率为 $\text{[math]}$ ，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边在直线y=3x上，则sin（2θ+ $\text{[math]}$ ）=（）

A . $\text{[math]}$ B . ﹣ $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . ﹣ $\text{[math]}$

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6. 设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）= $\text{[math]}$ ，则g[f（﹣8）]=（）

A . ﹣1 B . ﹣2 C . 1 D . 2

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7. 函数f（x）=sinωx（ϖ＞0）的图象向右平移 $\text{[math]}$ 个单位得到函数y=g（x）的图象，并且函数g（x）在区间[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]上单调递增，在区间[ $\text{[math]}$ ]上单调递减，则实数ω的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 2 D . $\text{[math]}$

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8. 设变量x，y满足约束条件 $\text{[math]}$ ，则z=x﹣2y的最大值为（）

A . ﹣12 B . ﹣1 C . 0 D . $\text{[math]}$

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9. (2017高三下·岳阳开学考) 秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入x的值为2，则输出v的值为（）

A . 2¹⁰﹣1 B . 2¹⁰ C . 3¹⁰﹣1 D . 3¹⁰

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10. (2017高三下·岳阳开学考) 如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 4

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11. 已知椭圆C： $\text{[math]}$ 的左、右顶点分别为A，B，F为椭圆C的右焦点，圆x²+y²=4上有一动点P，P不同于A，B两点，直线PA与椭圆C交于点Q，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . （﹣∞，﹣ $\text{[math]}$ ）∪（0， $\text{[math]}$ ） B . （﹣∞，0）∪（0， $\text{[math]}$ ） C . （﹣∞，﹣1）∪（0，1） D . （﹣∞，0）∪（0，1）

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12. 若关于x的不等式xe^x﹣2ax+a＜0的非空解集中无整数解，则实数a的取值范围是（）

A . [ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ） B . [ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ） C . [ $\text{[math]}$ ，e] D . [ $\text{[math]}$ ，e]

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二、填空题：

13. 已知正实数x，y满足2x+y=2，则 $\text{[math]}$ 的最小值为．

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14. 已知点A（1，0），B（1， $\text{[math]}$ ），点C在第二象限，且∠AOC=150°， $\text{[math]}$ =﹣4 $\text{[math]}$ +λ $\text{[math]}$ ，则λ=．

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15. 在平面直角坐标系xOy中，将直线y=x与直线x=1及x轴所围成的图形绕x轴旋转一周得到一个圆锥，圆锥的体积V_圆锥= $\text{[math]}$ πx²dx= $\text{[math]}$ x³| $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．据此类比：将曲线y=2lnx与直线y=1及x轴、y轴所围成的图形绕y轴旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的体积V=．

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16. 已知数列{a_n}的前n项和为S_n ， S_n=n²+2n，b_n=a_na_n₊₁cos（n+1）π，数列{b_n} 的前n项和为T_n ，若T_n≥tn²对n∈N^*恒成立，则实数t的取值范围是．

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三、解答题：．

17. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2acosC﹣c=2b．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若c= $\text{[math]}$ ，角B的平分线BD= $\text{[math]}$ ，求a．

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18. 空气质量指数（Air Quality Index，简称AQI）是定量描述空气质量状况的质量状况的指数，空气质量按照AQI大小分为六级，0～50为优；51～100为良101﹣150为轻度污染；151﹣200为中度污染；201～300为重度污染；＞300为严重污染．
一环保人士记录去年某地某月10天的AQI的茎叶图如图．
（Ⅰ）利用该样本估计该地本月空气质量优良（AQI≤100）的天数；（按这个月总共30天）
（Ⅱ）将频率视为概率，从本月中随机抽取3天，记空气质量优良的天数为ξ，求ξ的概率分布列和数学期望．

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19. 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠BCD=120°，四边形BFED是以BD为直角腰的直角梯形，DE=2BF=2，平面BFED⊥平面ABCD．
（Ⅰ）求证：AD⊥平面BFED；
（Ⅱ）在线段EF上是否存在一点P，使得平面PAB与平面ADE所成的锐二面角的余弦值为 $\text{[math]}$ ．若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由．

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20. 已知椭圆C₁： $\text{[math]}$ （a＞b＞0）的离心率为 $\text{[math]}$ ，P（﹣2，1）是C₁上一点．
1. （1）求椭圆C₁的方程；
2. （2）设A，B，Q是P分别关于两坐标轴及坐标原点的对称点，平行于AB的直线l交C₁于异于P、Q的两点C，D，点C关于原点的对称点为E．证明：直线PD、PE与y轴围成的三角形是等腰三角形．
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21. 已知函数f（x）=alnx+ $\text{[math]}$ x²﹣ax（a为常数）有两个极值点．
1. （1）求实数a的取值范围；
2. （2）设f（x）的两个极值点分别为x₁ ， x₂ ，若不等式f（x₁）+f（x₂）＜λ（x₁+x₂）恒成立，求λ的最小值．
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22. 在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为 $\text{[math]}$ （α为参数）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos（θ+ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ．l与C交于A、B两点．
（Ⅰ）求曲线C的普通方程及直线l的直角坐标方程；
（Ⅱ）设点P（0，﹣2），求|PA|+|PB|的值．

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23. 已知关于x的不等式|x﹣3|+|x﹣m|≥2m的解集为R．
（Ⅰ）求m的最大值；
（Ⅱ）已知a＞0，b＞0，c＞0，且a+b+c=m，求4a²+9b²+c²的最小值及此时a，b，c的值．

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