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1. (2023九上·安吉月考) 如图1，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，点D、E分别是AC、BC的中点，连接DE ．
1. （1）探索发现：
  图1中， $\text{[math]}$ 的值为， $\text{[math]}$ 的值为．
3. （2）拓展探究
  若将△CDE绕点C旋转，在旋转过程中 $\text{[math]}$ 的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．
5. （3）问题解决
  当△CDE旋转至A ， D ， C三点共线时，直接写出线段BE的长．
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1. (2023八上·杭州月考) 如图，在△ABC中， $\text{[math]}$ ， ∠ACB=90°，点P是边AB所在直线上的一个动点，连结CP ，将CP绕点C按逆时针方向旋转90°得到CD ，连结AD ．
1. （1）如图1，当点P在AB的延长线上时，求证：AD⊥AB ．
3. （2）如图2，若点P从点B运动到点A ．
  ①△DPA的周长是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由．
  ②如图3，过点B作BA的垂线，与直线DC交于点N ，作点B关于直线DC的对称点Q ，直线NQ交直线直线AD于点M ，若∠NMD=60°，求BP的长．
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1. (2024七上·鹿寨期末)
如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是（　　）

A . 两点之间线段最短 B . 两点确定一条直线 C . 垂线段最短 D . 以上都不是

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1. 如图，直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的直角顶点A落在直线a上，点B落在直线b上，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的大小为（）

A . 50° B . 45° C . 40° D . 35°

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1. 如图，直线AB与CD相交于点O ，射线OE在∠AOD的内部，∠AOC＝70°﹣ $\text{[math]}$ ∠AOE ．
1. （1）如图1，当∠AOE＝40°时，请写出与∠BOD互余的角，并说明理由；
3. （2）如图2，若OF平分∠BOE ，求∠DOF的度数．
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1. 如图，直线AB、CD、EF两两相交于点N ， M ， P ． PH平分∠MPN ， PQ平分∠EPN ，点G在直线AB上，且∠GPN＝90°．则下列结论：①图中总共有9条线段；②∠GPH＝∠EPQ；③∠MPH与∠NPQ互为余角；④∠GPM+2∠GPH＝90°；⑤PQ的反向延长线平分∠GPD ．正确的是．（填相应的序号）

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1. 钱塘江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图，灯 $\text{[math]}$ 射线自 $\text{[math]}$ 顺时针旋转至 $\text{[math]}$ 便立即回转，灯 $\text{[math]}$ 射线自 $\text{[math]}$ 顺时针旋转至 $\text{[math]}$ 便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯 $\text{[math]}$ 转动的速度是 $\text{[math]}$ /秒，灯 $\text{[math]}$ 转动的速度是 $\text{[math]}$ /秒，且 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ．假定这一带长江两岸河堤是平行的，即 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的值；
3. （2）如图，两灯同时转动，在灯 $\text{[math]}$ 射线到达 $\text{[math]}$ 之前，若射出的光束交于点 $\text{[math]}$ ，过 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，设在转动过程中，运动时间为 $\text{[math]}$ ，
  ①用t的代数式表示 $\text{[math]}$ ；
  ②用t的代数式表示 $\text{[math]}$ ；
  ③ $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系是．
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1. 如图，小丽的奶奶家在A点的正北方向C处，但需要走一条弯的路才能到达，小丽先沿北偏东 $\text{[math]}$ 走了一段距离后，转弯沿北偏西 $\text{[math]}$ 再走一段距离即可走到奶奶家，则转弯处∠ABC的度数为（　　）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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1. 若一个角的余角是 $\text{[math]}$ ，则这个角的补角是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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1. 如图，直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 相交于点O ，过点O作 $\text{[math]}$ ，射线 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ．
1. （1）写出 $\text{[math]}$ 所有邻补角：；
3. （2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数．
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