在平面直角坐标系中，对于任意一点，总存在一个点满足关系式：（，），则称为平面直角坐标系中的伸缩变换.

1. (2019·青浦模拟) 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，对于任意一点 $\text{[math]}$ ，总存在一个点 $\text{[math]}$ 满足关系式： $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），则称 $\text{[math]}$ 为平面直角坐标系中的伸缩变换.
1. （1）在同一直角坐标系中，求平面直角坐标系中的伸缩变换 $\text{[math]}$ ，使得椭圆 $\text{[math]}$ 变换为一个单位圆；
3. （2）在同一直角坐标系中，△ $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为坐标原点）经平面直角坐标系中的伸缩变换 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）得到△ $\text{[math]}$ ，记△ $\text{[math]}$ 和△ $\text{[math]}$ 的面积分别为S与 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ；

能力提升真题演练换一批

1. (2022·靖远模拟) 在平面直角坐标系xOy中，曲线 $\text{[math]}$ 的参数方程为 $\text{[math]}$ （t为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $\text{[math]}$ 的极坐标方程为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求曲线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的直角坐标方程；
2. （2）已知直线l的极坐标方程为 $\text{[math]}$ ，直线l与曲线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别交于M，N（均异于点O）两点，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ．
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2. (2022·郑州模拟) 在直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，直线 $\text{[math]}$ 的参数方程为 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为参数）．以坐标原点为极点， $\text{[math]}$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $\text{[math]}$ 的极坐标方程为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，求直线 $\text{[math]}$ 的普通方程和曲线 $\text{[math]}$ 的直角坐标方程；
2. （2）设点 $\text{[math]}$ 的直角坐标系下的坐标为 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与曲线 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 两点，且 $\text{[math]}$ ，求直线 $\text{[math]}$ 的倾斜角．
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3. (2022·宜宾模拟) 已知圆 $\text{[math]}$ 的直角坐标方程为 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 的参数方程为 $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ 为参数)，以平面直角坐标系的原点 $\text{[math]}$ 为极点， $\text{[math]}$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系．
1. （1）求圆 $\text{[math]}$ 和直线 $\text{[math]}$ 的极坐标方程；
2. （2）设射线 $\text{[math]}$ 的极坐标方程为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与圆 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与圆 $\text{[math]}$ 相交于A、B两点，若 $\text{[math]}$ ，求点 $\text{[math]}$ 的极坐标．
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1. (2022·全国甲卷) 在直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，曲线 $\text{[math]}$ 的参数方程为 $\text{[math]}$ （t为参数），曲线 $\text{[math]}$ 的参数方程为 $\text{[math]}$ （s为参数）．
1. （1）写出 $\text{[math]}$ 的普通方程；
2. （2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $\text{[math]}$ 的极坐标方程为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交点的直角坐标，及 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交点的直角坐标．
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2. (2022·北京) 已知函数 $\text{[math]}$ ．
（Ⅰ）求曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程；

（Ⅱ）设 $\text{[math]}$ ，讨论函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的单调性；

（III）证明：对任意的 $\text{[math]}$ ，有 $\text{[math]}$ ．

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3. (2021·全国乙卷) 在直角坐标系xOy中， $\text{[math]}$ C的圆心为C（2，1），半径为1.
1. （1）写出 $\text{[math]}$ C的一个参数方程；
2. （2）过点F（4，1）作 $\text{[math]}$ C的两条切线，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条直线的极坐标方程.
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