浙教版数学九上第1章二次函数优生综合题特训-在线组卷

1. (2021九下·曹县期中) 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 的对称轴是直线 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ．

（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若 $\text{[math]}$ 是抛物线上任意一点，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴的平行线，交直线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求点 $\text{[math]}$ 的坐标．
（3）设点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是直线 $\text{[math]}$ 上两动点，且 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 上方，求四边形 $\text{[math]}$ 周长的最小值．

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2. (2021·大冶模拟) 如图，抛物线的顶点为 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 轴上的一个定点.点 $\text{[math]}$ 是抛物线上一动点.

（1）求这条抛物线的函数解析式；
（2）已知直线 $\text{[math]}$ 是过点 $\text{[math]}$ 且垂直于 $\text{[math]}$ 轴的定直线，若点 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 的距离为 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ；
（3）已知坐标平面内一点 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 周长的最小值，并求出此时 $\text{[math]}$ 点坐标.

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3. (2021·荆州) 已知：直线 $\text{[math]}$ 与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C为直线 $\text{[math]}$ 上一动点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为锐角，在 $\text{[math]}$ 上方以 $\text{[math]}$ 为边作正方形 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ .

（1）如图1，当点C在线段 $\text{[math]}$ 上时，判断 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的位置关系，并说明理由；
（2）真接写出点E的坐标（用含t的式子表示）；
（3）若 $\text{[math]}$ ，经过点A的抛物线 $\text{[math]}$ 顶点为P，且有 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ .当 $\text{[math]}$ 时，求抛物线的解析式.

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4. (2021·龙湾模拟) 如图，二次函数y＝x²+bx+c的图象与x轴分别交于点A，B（3，0）（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且经过点（﹣2，5）.

（1）求b，c的值.
（2）将点B向下平移m个单位至点D，过点D作DF⊥y轴于点F，交抛物线于点E，G.若DE＝GF，求m的值.

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5. (2021九下·禹州月考) 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 轴于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与抛物线交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）求抛物线的解析式和直线 $\text{[math]}$ 的解析式.
（2）点 $\text{[math]}$ 是直线 $\text{[math]}$ 上方抛物线上一点.若 $\text{[math]}$ ，求此时点 $\text{[math]}$ 的坐标.

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6. (2021九上·海州期末) 已知抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ，与y轴交于点C，顶点为点D.

（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点P的坐标；
（3）已知点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，在抛物线对称轴上，找一点F，使 $\text{[math]}$ 的值最小.此时，在抛物线上是否存在一点K，使 $\text{[math]}$ 的值最小？若存在，求出点K的坐标；若不存在，请说明理由.

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7. (2021九上·澄迈期末) 如图，抛物线y=ax² + bx + c 交x轴于A、B两点，交y轴于点C，对称轴为直线x=1，已知：A(-1，0)、C(0，-3).

（1）求抛物线y= ax² + bx + c 的解析式；
（2）求△AOC和△BOC的面积比；
（3）在对称轴上是否存在一个P点，使△PAC的周长最小.若存在，请你求出点P的坐标；若不存在，请你说明理由.

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8. (2020九上·官渡期末) 如图①，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ．

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（1）求抛物线 $\text{[math]}$ 的解析式；
（2）如图②，连接 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是第三象限内抛物线上的动点，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 轴交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 面积的最大值及此时点 $\text{[math]}$ 的坐标；
（3）如图③，若抛物线的顶点坐标为点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是抛物线对称轴上的动点，在坐标平面内是否存在点 $\text{[math]}$ ，使得以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为顶点的四边形是菱形?若存在，求出点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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9. (2021九上·诸暨月考) 定义：如果两个函数y₁ ， y₂存在x取同一个值，使得y₁＝y₂ ，那么称y₁ ， y₂互为“等值函数”，对应的x值为y₁ ， y₂的“等值根”．

（1）函数y₁＝ $\text{[math]}$ x+b与 $\text{[math]}$ 是否互为“等值函数”？如果是，求出当b＝1时，两函数的“等值根”；如果不是，请说明理由．
（2）如图所示的是y＝﹣|x²+2x|的图象，它是由二次函数y＝﹣x²﹣2x的图象x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分保持不变得到的．若y₁＝ $\text{[math]}$ x+b与y₂＝﹣|x²+2x|互为“等值函数”，且有两个“等值根”，求b的取值范围．

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10. (2021·福建模拟) 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴， $\text{[math]}$ 轴分别交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点.抛物线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ .

（1）如果抛物线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ，求该抛物线的解析式；
（2）如果抛物线 $\text{[math]}$ 的顶点 $\text{[math]}$ 位于 $\text{[math]}$ 内.
①求 $\text{[math]}$ 的取值范围；

②将该抛物线平移，平移后的抛物线仍经过点 $\text{[math]}$ ，此时点 $\text{[math]}$ 的对应点 $\text{[math]}$ 坐标为 $\text{[math]}$ ，平移后的抛物线与线段 $\text{[math]}$ 是否还存在其它交点？若存在，请求出交点坐标；若不存在，请说明理由.

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11. (2021·陕西模拟) 如图所示，抛物线L：y＝ax²+bx+3（a≠0）与x轴交于A、B(6，0)两点，对称轴为直线x＝2，顶点为E.

（1）求抛物线L的函数表达式；
（2）将抛物线L向左平移2个单位长度得到抛物线 $\text{[math]}$ ，点M为抛物线L的对称轴上一动点，点N为抛物线 $\text{[math]}$ 上一动点.是否存在以A，E，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

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12. (2021九下·叙州期中) 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1），如图，直线y＝ $\text{[math]}$ x与抛物线交于A、B两点，直线l为y＝﹣1．

（1）求抛物线的解析式；
（2）在l上是否存在一点P ，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）知F（x₀ ， y₀）为平面内一定点，M（m ， n）为抛物线上一动点，且点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，求定点F的坐标．

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13. (2021·松江模拟) 在平面直角坐标系xOy中，直线y＝3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B ，抛物线y＝ax²+bx﹣5a经过点A ．将点B向右平移5个单位长度，得到点C ．

（1）求点C的坐标；
（2）求抛物线的对称轴；
（3）若抛物线的顶点在△OBC的内部，求a的取值范围．

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14. (2021九上·广饶期中) 如图1，已知抛物线y=ax²+bx+3(a≠0)与x轴交于点A(1，0)和点B(-3，0)，与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式：
（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．

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15. (2021九上·安庆月考) 如图，直线y＝2x＋6与反比例函数y＝ $\text{[math]}$ （k＞0）的图象交于点A（m，8），与x轴交于点B，平行于x轴的直线y＝n（0＜n＜6）交反比例函数的图象于点M，交AB于点N，连接BM．

（1）求m的值和反比例函数的解析式；
（2）观察图象，直接写出当x＞0时不等式2x＋6－ $\text{[math]}$ ＞0的解集；
（3）直线y＝n沿y轴方向平移，当n为何值时，△BMN的面积最大？最大值是多少？

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16. (2021九上·北京月考) 已知二次函数y＝x²﹣2x﹣3．

（1）求出该二次函数图象顶点坐标；
（2）求图象与两坐标轴的交点坐标；
（3）结合函数图象，直接写出y＜0时x的取值范围．

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17. (2021九上·温州月考) 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ 交y轴于点A，交x轴于点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ .

（1）求此抛物线的表达式.
（2）若点P是直线 $\text{[math]}$ 下方的抛物线上一动点，当 $\text{[math]}$ 的面积最大时，求出此时点P的坐标和 $\text{[math]}$ 的最大面积.
（3）设抛物线顶点为D，在（2）的条件下直线 $\text{[math]}$ 上确定一点H，使 $\text{[math]}$ 为等腰三角形，请直接写出此时点H的坐标.

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18. (2021·湘西) 如图，已知抛物线 $\text{[math]}$ 经过 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ .

（1）求抛物线的解析式；
（2）连接 $\text{[math]}$ ，求直线 $\text{[math]}$ 的解析式；
（3）请在抛物线的对称轴上找一点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 的值最小，求点 $\text{[math]}$ 的坐标，并求出此时 $\text{[math]}$ 的最小值；
（4）点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点 $\text{[math]}$ ，使得以 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

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19. (2021·南县) 已知函数y＝ $\text{[math]}$ 的图象如图所示，点A（x₁ ， y₁）在第一象限内的函数图象上.

（1）若点B（x₂ ， y₂）也在上述函数图象上，满足x₂＜x₁.
①当y₂＝y₁＝4时，求x₁ ， x₂的值；

②若|x₂|＝|x₁|，设w＝y₁﹣y₂ ，求w的最小值；
（2）过A点作y轴的垂线AP，垂足为P，点P关于x轴的对称点为P′，过A点作x轴的垂线AQ，垂足为Q，Q关于直线AP′的对称点为Q′，直线AQ′是否与y轴交于某定点？若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由.

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20. (2021九上·乾安期中) 某电子厂商投产一种新型电子产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数y=-2x+100．（利润=售价﹣制造成本）

（1）写出每月的利润z（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）当销售单价为多少元时，厂商每月能获得350万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？
（3）根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不能高于32元，如果厂商要获得每月不低于350万元的利润，那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元？

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21. (2021九上·温州月考) 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，已知 $\text{[math]}$ ．

（1）求m的值和直线 $\text{[math]}$ 对应的函数表达式；
（2） Q为抛物线上一点，若 $\text{[math]}$ ，求点Q的坐标．

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22. (2021九上·嘉祥月考) 已知如图，抛物线经过点A(-1，0)、B (3，0)、C(0，2)三点，

（1）求抛物线的解析式；
（2）动点M在抛物线的对称轴上，当△AMC的周长最小时.求点M的坐标：
（3）点Р是在第一象限内抛物线上的一动点，问点Р在何处时△BCP的面积最大？最大面积是多少?并写出此时点Р的坐标.

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23. (2021九上·宁波月考) 如图，已知抛物线 y=－x²+bx+c 的对称轴为直线 x=1，与 x 轴相交于 A，B两点，与 y 轴交于点 C(0，3)．

（1）求 b ， c 的值．
（2）点 C 关于直线x=1的对称点为点 D，直线 l⊥x 轴，分别交线段 AC，抛物线于 E，F 两点（点 F 在 CD 上方），连结 CF，FD，DE，CD．
①求四边形 CEDF 面积的最大值．

②若△CDE 是等腰三角形，求点 E 的坐标．

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24. (2021·荆州) 小爱同学学习二次函数后，对函数 $\text{[math]}$ 进行了探究，在经历列表、描点、连线步骤后，得到加下的函数图象.请根据函数图象，回答下列问题：

（1）观察探究：
①写出该函数的一条性质：；

②方程 $\text{[math]}$ 的解为：；

③若方程 $\text{[math]}$ 有四个实数根，则a的取值范围是.
（2）延伸思考：
将函数 $\text{[math]}$ 的图象经过怎样的平移可得到函数 $\text{[math]}$ 的图象？写出平移过程，并直接写出当 $\text{[math]}$ 时，自变量x的取值范围.

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