一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.
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2.
已知复数
的实部为0,其中
为虚数单位,则实数
a的值是
.
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3.
下图是一个算法流程图,则输出的
S的值是
.
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4.
函数
的定义域是
.
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5.
已知一组数据6,7,8,8,9,10,则该组数据的方差是.
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6.
从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务,则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是.
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7.
在平面直角坐标系
中,若双曲线
经过点(3,4),则该双曲线的渐近线方程是
.
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8.
已知数列
是等差数列,
是其前
n项和.若
,则
的值是
.
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9.
如图,长方体
的体积是120,
E为
的中点,则三棱锥
E-
BCD的体积是
.
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10.
在平面直角坐标系
中,
P是曲线
上的一个动点,则点
P到直线
x+
y=0的距离的最小值是
.
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11.
在平面直角坐标系
中,点
A在曲线
y=ln
x上,且该曲线在点
A处的切线经过点(-e,-1)(e为自然对数的底数),则点
A的坐标是
.
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12.
如图,在
中,
D是
BC的中点,
E在边
AB上,
BE=2
EA ,
AD与
CE交于点
.若
,则
的值是
.
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13.
已知
,则
的值是
.
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14.
设
是定义在R上的两个周期函数,
的周期为4,
的周期为2,且
是奇函数.当
时,
,
,其中
k>0.若在区间(0,9]上,关于
x的方程
有8个不同的实数根,则
k的取值范围是
.
二、解答题:本大题共6小题,共计90分.
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15.
在△ABC中,角A , B , C的对边分别为a , b , c .
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(1)
若
a=3
c ,
b=
,cos
B=
,求
c的值;
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(2)
若
,求
的值.
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16.
如图,在直三棱柱
ABC-
A1B1C1中,
D ,
E分别为
BC ,
AC的中点,
AB=
BC .
求证:
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17.
如图,在平面直角坐标系
xOy中,椭圆
C:
的焦点为
F1(–1、0),
F2(1,0).过
F2作
x轴的垂线
l , 在
x轴的上方,
l与圆
F2:
交于点
A , 与椭圆
C交于点
D.连结
AF1并延长交圆
F2于点
B , 连结
BF2交椭圆
C于点
E , 连结
DF1 . 已知
DF1=
.
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18.
如图,一个湖的边界是圆心为
O的圆,湖的一侧有一条直线型公路
l , 湖上有桥
AB(
AB是圆
O的直径).规划在公路
l上选两个点
P、
Q , 并修建两段直线型道路
PB、
QA . 规划要求:线段
PB、
QA上的所有点到点
O的距离均不小于圆
O的半径.已知点
A、
B到直线
l的距离分别为
AC和
BD(
C、
D为垂足),测得
AB=10,
AC=6,
BD=12(单位:百米).
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(2)
在规划要求下,P和Q中能否有一个点选在D处?并说明理由;
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(3)
对规划要求下,若道路PB和QA的长度均为d(单位:百米).求当d最小时,P、Q两点间的距离.
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19.
设函数
、
为
f(
x)的导函数.
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(1)
若a=b=c , f(4)=8,求a的值;
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(2)
若
a≠
b ,
b=
c , 且
f(
x)和
的零点均在集合
中,求
f(
x)的极小值;
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(3)
若
,且
f(
x)的极大值为
M , 求证:
M≤
.
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20.
定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M-数列”.
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(1)
已知等比数列{
an}
满足:
,求证:数列{
an}为“M-数列”;
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(2)
已知数列{
bn}满足:
,其中
Sn为数列{
bn}的前
n项和.
①求数列{bn}的通项公式;
②设m为正整数,若存在“M-数列”{cn} ,对任意正整数k , 当k≤m时,都有 成立,求m的最大值.
三、数学Ⅱ(附加题)(每题10分)【选做题】本题包括21、22、23三题,请选定其中两小题,并在相应的答题区域内作答.若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
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21.
A.[选修4-2:矩阵与变换]
已知矩阵
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22.
在极坐标系中,已知两点
,直线
l的方程为
.
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23.
设
,解不等式
.
四、【必做题】第24题、第25题,每题10分,共计20分.
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24.
设
.已知
.
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25.
在平面直角坐标系
xOy中,设点集
,
令 .从集合Mn中任取两个不同的点,用随机变量X表示它们之间的距离.
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(2)
对给定的正整数n(n≥3),求概率P(X≤n)(用n表示).