浙教版2019中考数学复习专题之二次函数综合与应用-在线组卷

1. 如图，已知直线y＝﹣x+4分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线过y＝ax²+bx+c经过A，B两点，点P是线段AB上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交抛物线于点D．

（1）若抛物线的解析式为y＝﹣ $\text{[math]}$ x²+x+4，设其顶点为M，其对称轴交AB于点N．
①求点M、N的坐标；

②是否存在点P，使四边形MNPD为菱形？并说明理由；
（2）当点P的横坐标为2时，是否存在这样的抛物线，使得以B、P、D为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．

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2. 如图，直线l：y＝﹣2x+m与x轴交于点A（﹣2，0），抛物线C₁：y＝x²+4x+3与x轴的一个交点为B（点B在点A的左侧），过点B作BD垂直x轴交直线l于点 D．

（1）求m的值和点B的坐标；
（2）将△ABD绕点A顺时针旋转90°，点B，D的对应点分别为点E，F．
①点F的坐标为；

②将抛物线C₁向右平移使它经过点F，此时得到的抛物线记为C₂ ，直接写出抛物线C₂的表达式．

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3. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax²﹣4ax+3a．

（1）求抛物线的对称轴；
（2）当a＞0时，设抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），顶点为C，若△ABC为等边三角形，求a的值；
（3）过T （0，t）（其中﹣1≤t≤2）且垂直y轴的直线l与抛物线交于M，N两点．若对于满足条件的任意t值，线段MN的长都不小于1，结合函数图象，直接写出a的取值范围．

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4. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax²+bx+c的开口向上，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的右侧），点A的坐标为（m，0），且AB＝4．

（1）填空：点B的坐标为（用含m的代数式表示）；
（2）把射线AB绕点A按顺时针方向旋转135°与抛物线交于点P，△ABP的面积为8：
①求抛物线的解析式（用含m的代数式表示）；

②当0≤x≤1，抛物线上的点到x轴距离的最大值为 $\text{[math]}$ 时，求m的值．

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5. 如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在y轴上，边AC与x轴交于点D，经过A，D两点的圆的圆心F恰好在y轴上，⊙F与边BC相切于点E，与x轴交于点M，与y轴相交于另一点G，连接AE．

（1）求证：AE平分∠BAC；
（2）若点A，D的坐标分别为（0，﹣1），（2，0），求⊙F；
（3）求经过三点M，F，D的抛物线的解析式．

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6. 如图，抛物线的顶点为C（﹣1，﹣1），且经过点A、点B和坐标原点O，点B的横坐标为﹣3．

（1）求抛物线的解析式．
（2）求点B的坐标及△BOC的面积．
（3）若点D为抛物线上的一点，点E为对称轴上的一点，且以点A、O、D、E为顶点的四边形为平行四边形，请在左边的图上标出D和E的位置，再直接写出点D的坐标．

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7. 如图，已知抛物线y＝﹣ $\text{[math]}$ x²+bx+c与x轴交于点A，B，点A的坐标为（﹣1，0），与y轴交于点C（0，2），点D与点C关于x轴对称，点P是x轴正半轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q，交直线BD于点M．

（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；
（2）若m＝3，试证明△BQM是直角三角形；
（3）已知点F（0， $\text{[math]}$ ），试求m为何值时，四边形DMQF是平行四边形？

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8. 点P为拋物线y＝x²﹣2mx+m²（m为常数，m＞0）上任意一点，将抛物线绕顶点G逆时针旋转90℃后得到的图象与y轴交于A、B两点（点A在点B的上方），点Q为点P旋转后的对应点．

（1）抛物线y＝x²﹣2mx+m²的对称轴是直线，当m＝2，点P的横坐标为4时，点Q的坐标为；
（2）设点Q（a，b），请你用含b的代数式表示a，则a＝；
（3）如图，点Q在第一象限，点D在x轴的正半轴上，点C为OD的中点，QO平分∠AQC，当AQ＝2QC，QD＝m时，求m的值．

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9. 如图，二次函数y＝x²﹣4x+m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y＝kx+b的图象经过该二次函数图象上点A（1，0）及点B．

（1）求二次函数与一次函数的解析式；
（2）根据图象，直接写出满足kx+b≥x²﹣4x+m的x的取值范围．
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P使得PA+PC最小，求P点坐标及最小值．

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10. 已知y是关于x的函数，若其函数图象经过点P（t，t），则称点P为函数图象上的“bingo点”，例如：y＝2x﹣1上存在“bingo点”P（1，1）

（1）直线（填写直线解析式）上的每一个点都是“bingo点”；双曲线y＝ $\text{[math]}$ 上的“bingo点”是。
（2）若抛物线y＝ $\text{[math]}$ x²+（ $\text{[math]}$ a+1）x﹣ $\text{[math]}$ a²﹣a+2上有“bingo点”，且“bingo点”A、B（点A和点B可以重合）的坐标为A（x₁ ， y₁），B（x₂ ， y₂），求x₁²+x₂²的最小值
（3）若函数y＝ $\text{[math]}$ x²+（n﹣k+1）x+m+k﹣1的图象上存在唯一的一个“bingo点”，且当﹣2≤n≤1时，m的最小值为k，求k的值．

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11. 如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B，C两点的抛物线y＝x²+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P．

（1）求该抛物线的解析式；
（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C，P，M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出所符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）当0＜x＜3时，在抛物线上求一点Q，以Q点为圆心，以 $\text{[math]}$ 长为半径的⊙Q与直线BC相切，直接写出所有满足条件的Q点坐标．

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12. 如图，抛物线y＝﹣x²+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点O为坐标原点，点E在抛物线上，点F在x轴上，四边形OCEF为矩形，且OF＝2，EF＝3，点D为直线AE上方抛物线上的一点

（1）求抛物线所对应的函数解析式；
（2）求△ADE面积的最大值和此时点D的坐标；
（3）将△AOC绕点C逆时针旋转90°，点A对应点为点G，问点G是否在该抛物线上？请说明理由．

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13. 如图所示，将抛物线y＝ $\text{[math]}$ x²沿x轴向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到新的抛物线．

（1）直接写出新抛物线的解析式为；
（2）设新抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于C，顶点为D，作CE⊥CD交抛物线于E，如图所示，探究如下问题：
①求点E的坐标；

②若一次函数y＝kx+1的图象与抛物线存在唯一交点且交对称轴交于点F，连接DE，猜测直线DE与对称轴的夹角和一次函数y＝kx+1的图象与对称轴的夹角之间的大小关系，并证明．

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14. 如图，已知：二次函数y＝x²+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为（﹣3，0），与y轴交于点C，点D（﹣2，﹣3）在抛物线上．

（1）求抛物线的表达式；
（2）抛物线的对称轴上有一动点P，求出PA+PD的最小值；
（3）若抛物线上有一动点M，使△ABM的面积等于△ABC的面积，求M点坐标．
（4）抛物线的对称轴上是否存在动点Q，使得△BCQ为等腰三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．

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15. 如图，抛物线y＝ax²+bx+2（a≠0）的对称轴是直线x＝1，与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣2，0）．

（1）求抛物线的解析式；
（2）若点F是第四象限内抛物线上一点，过点F作FD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，当OD＝4FE时，求四边形FOBE的面积；
（3）在（2）的条件下，若点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点B，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

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16. 小哲的姑妈经营一家花店，随着越来越多的人喜爱“多肉植物”，姑妈也打算销售“多肉植物”．小哲帮助姑妈针对某种“多肉植物”做了市场调查后，绘制了以下两张图表：

（1）如果在三月份出售这种植物，单株获利元；
（2）请你运用所学知识，帮助姑妈求出在哪个月销售这种多肉植物，单株获利最大？（提示：单株获利＝单株售价﹣单株成本）

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17. 某商品现在的售价为每件50元，每天可卖出200件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每天要少卖出10件，已知商品的进价为每件40元，请你帮助分析，当每件商品涨价多少元时，可使每天的销售利润最大，最大利润是多少？

设每件商品涨价x元，每天售出商品的利润为y元．

（1）根据题意，填写下表：

每件售价（元）	50	51	52	……	50+x
每天售出商品的数量（件）	200	190		……
每天售出商品的利润（元）	2000	2090		……

（2）由以上分析，用含x的式子表示y，并求出问题的解．

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18. 小李的活鱼批发店以44元/公斤的价格从港口买进一批2000公斤的某品种活鱼，在运输过程中，有部分鱼未能存活，小李对运到的鱼进行随机抽查，结果如表一．由于市场调节，该品种活鱼的售价与日销售量之间有一定的变化规律，表二是近一段时间该批发店的销售记录．

（1）请估计运到的2000公斤鱼中活鱼的总重量；（直接写出答案）

（2）按此市场调节的观律，

①若该品种活鱼的售价定为52.5元/公斤，请估计日销售量，并说明理由；

②考虑到该批发店的储存条件，小李打算8天内卖完这批鱼（只卖活鱼），且售价保持不变，求该批发店每日卖鱼可能达到的最大利润，并说明理由．

表一

所抽查的鱼的总重量m（公斤）	100	150	200	250	350	450	500
存活的鱼的重量与m的比值	0.885	0.876	0.874	0.878	0.871	0.880	0.880

表二

该品种活鱼的售价（元/公斤）	50	51	52	53	54
该品神活鱼的日销售量（公斤）	400	360	320	280	240

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19. 一租赁公司拥有某种型号的汽车10辆，公司在经营中发现每辆汽车每天的租赁价为120元时可全部出租，租赁价每涨3元就少出租1辆，公司决定采取涨价措施．

（1）填空：每天租出的汽车数y（辆）与每辆汽车的租赁价x（元）之间的关系式为．
（2）已知租出的汽车每辆每天需要维护费30元，求租出汽车每天的实际收入w（元）与每辆汽车的租赁价x（元）之间的关系式；（租出汽车每天的实际收入＝租出收入﹣租出汽车维护费）
（3）若未租出的汽车每辆每天需要维护费12元，则每辆汽车每天的租赁价x（元）定为多少元时，才能使公司获得日收益z（元）最大？并求出公司的最大日收益．

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20. 如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，当水面的宽度为10m时，桥洞与水面

的最大距离是5m．

（1）经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案（如图），你选择的方案是（填方案一，方案二，或方案三），则B点坐标是，求出你所选方案中的抛物线的表达式；
（2）因为上游水库泄洪，水面宽度变为6m，求水面上涨的高度．

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21. 某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．

（1）求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
（3）如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，那么销售单价应控制在什么范围内？

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22. 某商场销售一种产品，每件产品的成本为2400元，销售单价定为3000元，该商场为了促销，规定客户一次购买这种新型产品不超过10件时，每件按3000元销售；若一次购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10元，但销售单价均不低于2600元；

（1）设一次购买这种产品x（x＞10）件，商场所获的利润为y元，求y（元）与x（件）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）在客户购买产品的件数尽可能少的前提下，商场所获的利润为12000元，此时该商场销售了多少件产品？

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23. 某商品进价为每个10元，当售价为每个12元时，销售量为180个，若售价每提高1元，销售量就会减少10个，试解答下列问题：

（1）直接写出该商品销售量y（个）与售价x（元）（12≤x≤30）之间的函数关系式；
（2）为了让利给顾客，并同时获得840元的利润，售价应定为多少元？
（3）当售价定为多少元时，获得利润最大，最大利润是多少元？

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24. 在一次羽毛球比赛中，甲运动员在离地面 $\text{[math]}$ 米的P点处发球，球的运动轨迹PAN可看作是一条抛物线的一部分，当球运动到最高点A处时，其高度为3米，离甲运动员站立地点O的水平距离为5米，球网BC离点O的水平距离为6米，以点O为原点建立平面直角坐标系，回答下列问题．

（1）求抛物线的解析式（不要求些出自变量的取值范围）；
（2）羽毛球场地底线距离球网BC的水平距离为6米，此次发球是否会出界？
（3）乙运动员在球场上M（m，0）处接球，乙原地起跳可接球的最大高度为2.5米，若乙因接球高度不够而失球，求m的取值范围．

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25. 某小区业主委员会决定把一块长50m，宽30m的矩形空地建成健身广场，设计方案如图所示，阴影区域为绿化区（四块绿化区为全等的矩形），空白区域为活动区，且四周的4个出口宽度相同，其宽度不小于14m，不大于26m，设绿化区较长边为xm，活动区的面积为ym²

（1）直接写出：①用x的式子表示出口的宽度为；
②y与x的函数关系式及x的取值范围；
（2）求活动区的面积y的最大面积；
（3）预计活动区造价为50元/m² ，绿化区造价为40元/m² ，如果业主委员会投资不得超过72000元来参与建造，当x为整数时，共有几种建造方案？

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26. A、B两地果园分别有某种水果12吨和8吨，C、D两地分别需要这种水果5吨和15吨；已知从A、B到C、D的运价如表：

	到C地	到D地
A果园	每吨150元	每吨120元
B果园	每吨100元	每吨90元

若从A果园运到C地的该水果为x吨，试解答下列各题：

（1）填空：①从B果园运到C地的水果为吨，
②从A果园将水果运往D地的运输费用为元．
（2）用含x的式子表示出总运输费（要求：列式、化简）．
（3）直接写出总运输费用的最小值．
（4）若这批水果在C地和D地进行再加工，经测算，全部加工完毕后总成本为w元，且w＝﹣（x﹣3）²+185000，则当x＝时，w有最值（填“大”或“小”）．这个值是．

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27. 某公司计划安排25人生产甲、乙两种产品，已知每人每天生产25件甲或15件乙，甲产品每件利润18元，当参与生产乙产品的工人少于10人时，乙产品每件利润为40元，在4人的基础上每增加1人，每件乙产品的利润下降1元，设每天安排x人生产甲产品，且不少于4人生产乙产品．

（1）请根据以上信息完善下表：

产品

工人数（人）

每天产量（件）

每件利润（元）

甲

x

18

乙
（2）请求出销售甲乙两种产品每天的总利润y关于x的表达式；
（3）请你设计合理的工人分配方案，使得每天的利润最大化，并求出这个最大利润．

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28. 某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙长足够长），中间用一道墙隔开（如图1所示）．已知计划中的材料可建墙体总长46米，设两间饲养室合计长x（米），总占地面积为y（米²）．

（1）求y关于x的函数表达式和自变量x的取值范围．
（2）现需要设计这两间饲养室各开一扇门（如图2所示），每扇门宽1米，门不采用计划中的材料．
①求总占地面积最大为多少米²？

②如图3所示，离墙10米外饲养室一侧准备修一条平行于墙的小路，若拟建的饲养室面积尽量大，饲养室的门口与小路的间隔为多少米？

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29. 瓦子街是上杭城关老城区改造的商业文化购物步行街，瓦子街某商场经营的某个品牌童装，购进时的单价是60元，根据市场调查，在一段时间内，销售单价是80元时，销售量是200件，销售单价每降低1元，就可多售出20件．

（1）求出销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）求出销售该品牌童装获得的利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（3）若童装厂规定该品牌童装的销售单价不低于76元且不高于80元，则商场销售该品牌童装获得的最大利润是多少？

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30. 为满足市场需求，某超市在八月十五“中秋”来临前夕，购进一种品牌月饼，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现；当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒．

（1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；
（2）为稳定物价，有关管理部门限定：这种月饼的每盒售价不得高于58元．如果超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售粽子多少盒？

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31. 如图，直线y＝ $\text{[math]}$ x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣ $\text{[math]}$ x²+bx+c经过A、B两点，与x轴的另一个交点为 C．

（1）求抛物线的解析式；
（2）直线AB上方抛物线上的点D，使得∠DBA＝2∠BAC，求D点的坐标；
（3） M是平面内一点，将△BOC绕点M逆时针旋转90°后，得到△B₁O₁C₁ ，若△B₁O₁C₁的两个顶点恰好落在抛物线上，请求点B₁的坐标．

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32. 如图1，抛物线C₁：y＝ax²+bx+1的顶点坐标为D（1，0）且经过点（0，1），将抛物线C₁向右平移1个单位，向下平移1个单位得到抛物线C₂ ，直线y＝x+c，经过点D交y轴于点A，交抛物线C₂于点B，抛物线C₂的顶点为P．

（1）求抛物线C₁的解析式；
（2）如图2，连结AP，过点B作BC⊥AP交AP的延长线于C，设点Q为抛物线上点P至点B之间的一动点，连结BQ并延长交AC于点F，
①当点Q运动到什么位置时，S_△PBD×S_△BCF＝8？

②连接PQ并延长交BC于点E，试证明：FC（AC+EC）为定值．

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33. 如图，P（m，n）是抛物线y＝﹣ $\text{[math]}$ +1上任意一点，l是过点（0，2）且与x轴平行的直线，过点P作直线PH⊥l，垂足为H，PH交x轴于Q．

（1）【探究】填空：当m＝0时，OP＝，PH＝；当m＝4时，OP＝，PH＝．
（2）【证明】对任意m，n，猜想OP与PH的大小关系，并证明你的猜想．
（3）【应用】当OP＝OH，且m≠0时，求P点的坐标．

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34. 定义：点Q到图形W上每一个点的距离的最小值称为点Q到图形W的距离．

例如，如图1，正方形ABCD满足A（1，0），B（2，0），C（2，1），D（1，1），那么点O（0，0）到正方形ABCD的距离为1．

（1）如果⊙P是以（3，4）为圆心，2为半径的圆，那么点O（0，0）到⊙P的距离为；
（2） ①求点M（3，0）到直线了y＝ $\text{[math]}$ x+4的距离：
②如果点N（0，a）到直线y＝ $\text{[math]}$ x+4的距离为2，求a的值；
（3）如果点G（0，b）到抛物线y＝x²的距离为3，请直接写出b的值．

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35. 如图，已知二次函数y＝ax²+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，3）

（1）求这个二次函数的表达式并直接写出顶点坐标；
（2）若P是第一象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与BC交于点M，连接PC．设点P的横坐标为t
①求线段PM的最大值；

②S_△PBM：S_△MHB＝1：2时，求t值；

③当△PCM是等腰三角形时，直接写点P的坐标．

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36. 如图，已知抛物线L₁：y＝ $\text{[math]}$ x²﹣x﹣ $\text{[math]}$ ，L₁交x轴于A，B（点A在点B左边），交y轴于C，其顶点为D，P是L₁上一个动点，过P沿y轴正方向作线段PQ∥y轴，使PQ＝t，当P点在L₁上运动时，Q随之运动形成的图形记为L₂ ．

（1）若t＝3，求点P运动到D点时点Q的坐标，并直接写出图形L₂的函数解析式；
（2）过B作直线l∥y轴，若直线l和y轴及L₁ ， L₂所围成的图形面积为12，求t的值．

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37. 如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣ $\text{[math]}$ x+3与x轴、y轴分别交于点B、C；抛物线y＝﹣x²+bx+c经过B、C两点，与x轴交于另一点A．设P（x，y）是在第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作直线k⊥x轴于点M，交直线BC于点N．

（1）求该抛物线所对应的函数关系式；
（2）连接PC、ON，若以P、C、O、N四点能围成平行四边形时，求此时点P坐标；
（3）是否存在以P、C、N为顶点的三角形与△BNM相似？若存在，求出点N坐标；若不存在，请说明理由．

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38. 如图，矩形的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（10，8），沿直线OD折叠矩形，使点A正好落在BC上的E处，E点坐标为（6，8），抛物线y＝ax²+bx+c经过O、A、E三点．

（1）求此抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线对称轴上的一动点，当△PAD的周长最小时，求点P的坐标；
（3）当t≤x≤t+1时，求y＝ax²+bx+c的最大值．

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39. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是（4，0），并且OA＝OC＝4OB，动点P在过A，B，C三点的抛物线上．

（1）求抛物线的解析式；
（2）在AC上方的抛物线上有一动点G，如图，当点G运动到某位置时，以AG，AO为邻边的平行四边形第四个顶点恰好也在抛物线上，求出此时点G的坐标；
（3）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．

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40. 阅读下列材料：

某同学遇到这样一个问题：在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：y＝﹣x，点A （1，t）在抛物线y＝x²﹣4x+5上，求点A到直线l的距离d．

如图1，他过点A作AB⊥l于点B，AD∥y轴分别交x轴于点C，交直线l于点 D．他发现OC＝CD，∠ADB＝45°，可求出AD的长，再利用Rt△ABD求出AB的长，即为点A到直线l的距离d．

请回答：

（1）图1中，AD＝，点A到直线l的距离d＝．参考该同学思考问题的方法，解决下列问题：在平面直角坐标系xOy中，点M是抛物线y＝x²﹣4x+5上的一动点，设点M到直线l的距离为d．
（2）如图2，
①l：y＝﹣x，d＝ $\text{[math]}$ ，则点M的坐标为；

②l：y＝﹣x，在点M运动的过程中，求d的最小值；
（3）如图3，l：y＝2x﹣7，在点M运动的过程中，d的最小值是．

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浙教版2019中考数学复习专题之二次函数综合与应用

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甲	x		18
乙